Historia de las Matemáticas: El infinito

Historia de las Matemáticas: El infinito

Un artículo sobre el infinito en un Archivo de la Historia de las Matemáticas presenta problemas especiales. ¿Se concentra uno puramente en los aspectos matemáticos del tema o se consideran los aspectos filosóficos o incluso religiosos?. En este artículo veremos que históricamente no pueden separarse los aspectos filosóficos y religiosos de los matemáticos dado que juegan un papel importante en cómo se desarrollaron las ideas.
Esto es particularmente cierto en tiempos de los antiguos griegos, como escribe Knorr en [26]:-
"La interacción de filosofía y matemáticas en raras ocasiones se revela con tanta claridad como en el estudio del infinito entre los antiguos griegos. Los enigmas dialécticos de los Eleáticos del siglo V, refinados por Platón y Aristóteles en el siglo IV, y complementados con la invención de métodos precisos de límites, como los aplicados por Eudoxo en el siglo IV y Euclides y Arquímedes en el III".
Por supuesto, desde el momento en que la gente comenzó a pensar acerca del mundo en que vivían, surgieron las preguntas sobre el infinito. Había preguntas sobre el tiempo. ¿Apareció el mundo en un instante concreto o siempre había existido?. ¿Existiría para siempre o tendría un final determinado?. Entonces comenzaron las preguntas sobre el espacio. ¿Qué sucede si se permanece viajando en una dirección concreta?. ¿Se alcanzaría el final del mundo o se podría viajar para siempre?. De nuevo, sobre la Tierra se pueden ver las estrellas, planetas, el Sol y la Luna, pero ¿era este espacio finito o se extendería para siempre?.
Las preguntas de arriba son fundamentales y han puesto en problemas a los pensadores a lo largo de toda la historia. Hay preguntas más sutiles acerca del infinito las cuales fueron también formuladas en una etapa en que la gente comenzaba a pensar profundamente sobre el mundo. ¿Qué sucede si uno corta un trozo de madera en dos trozos, entonces de nuevo corta uno de esos trozos en dos y continúa haciendo esto?. ¿Podría hacerlo indefinidamente?.

Deberíamos comenzar nuestro relato sobre el infinito con el Eleático del siglo V Zenón. Los primeros griegos habían llegado al problema del infinito en una etapa temprana en su desarrollo de la ciencia y las matemáticas. En su estudio de la materia hicieron la pregunta fundamental: ¿se puede dividir de forma continua la materia en trozos más y más pequeños o se alcanza una pieza tan diminuta que no puede dividirse aún más?. Pitágoras había argumentado que "todo son números" y su Universo estaba hecho de un número finito de números naturales. Entonces llegaron los Atomistas que creían que la materia estaba compuesta de un número infinito de indivisibles. Parménides y la Escuela Eleática, con Zenón incluido, argumentaban contra los Atomistas. Sin embargo las paradojas de Zenón demuestran que ambos creían que la materia es continuamente divisible y la creencia en la teoría atómica llevó a ambos a aparentes contradicciones.
Por supuesto estas paradojas surgen del infinito. Aristóteles no pareció apreciar por completo la relevancia de los argumentos de Zenón sobre el infinito ya que el infinito no le preocupaba en absoluto. Introdujo una idea que dominaría el pensamiento durante dos mil años y es aún un argumento persuasivo para alguna gente hoy día. Aristóteles argumentaba contra el infinito real y, en su lugar, consideraba un infinito potencial. Su idea era que nunca podremos concebir los números naturales como un todo. Sin embargo son potencialmente infinitos en el sentido que dado un conjunto finito siempre podemos encontrar un conjunto finito mayor.
Es de importancia para nuestra discusión el notable avance hecho por los Babilonios quienes introdujeron la idea de un sistema numérico posicional el cual, por primera vez, nos permitía una representación concisa de los números sin limitar su tamaño. A pesar de los sistemas numéricos posicionales, el argumento de Aristóteles es bastante convincente. Solo un número finito de números naturales ha sido alguna vez escrito o pensado. Si L es el mayor número pensado hasta ahora entonces podemos ir más lejos y escribir L + 1, o L2 pero aún pueden pensarse mucho otros finitos. Aristóteles discutía esto en sus Capítulos 4-8 del Libro III de Física (ver [36]) donde afirma que negar que exista el infinito real y permitir solo el infinito potencial no sería un obstáculo para los matemáticos:-
"Nuestra labor no es robarle a los matemáticos su ciencia, refutando la existencia real del infinito en la dirección de incremento, en el sentido de infranqueable. A decir verdad ellos no necesitan el infinito y no lo usan. Solo postulan que una línea recta finita puede ser prolongada tanto como se desee.
Cantor, unos dos mil años más tarde, argumentaba que Aristóteles estaba haciendo una distinción que estaba solo en su uso de las palabras:-
"... en realidad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada, en el grado que como concepto de infinito potencial siempre apunta hacia un concepto de infinito real lógicamente anterior de cuya existencia depende".
Llegaremos a las ideas de Cantor hacia el final del artículo pero por el momento tengamos en cuenta el efecto que tuvo Aristóteles en los posteriores matemáticos griegos al permitir solo el infinito potencial, particularmente sobre Euclides; ver por ejemplo [36]. ¿Cómo entonces, podríamos preguntarnos, fue capaz Euclides de probar que el conjunto de números primos es infinito en el 300 A.C? Bien, la respuesta es que Euclides no probó esto en Elementos. Esto es simplemente una formulación moderna de lo que Euclides afirmó en realidad en su teorema, de acuerdo con la traducción de Heath, dice:-
"Los números primos son mayores que cualquier magnitud asignada de números primos".
Por tanto, lo que de hecho probó Euclides era que los números primos son infinitos potenciales pero en la práctica, por supuesto, esto es lo mismo. Su prueba demuestra que dada una colección finita de números primos debe haber un número primo que no esté en el grupo.
Deberíamos debatir otros aspectos del infinito que juegan un papel crucial en Elementos. Allí Euclides explica el método de exhausción de Eudoxo de Cnida. A menudo este método se usa para considerar el círculo como límite de polígonos regulares cuando el límite de lados aumenta hasta infinito. Deberíamos enfatizar firmemente, sin embargo, que esta no es la forma en la que los antiguos griegos observaron el método. En lugar de esto fue un argumento de reducción al absurdo el que evitó el uso del infinito. Por ejemplo, para probar que dos áreas A y B son iguales, el método asumiría que el área de A es menor que la de B y entonces derivar una contradicción tras un número finito de pasos. De nuevo asumiendo que el área de B es menor que la de A también nos lleva a una contradicción en un número finito de pasos.
Recientemente, sin embargo, han salido a la luz prueba que sugieren que no todos los antiguos matemáticos griegos se sentían restringidos a tratar solo con el infinito potencial. Los autores de [32] han dado apuntado una forma sorprendente en que Arquímedes investigó el número infinito de objetos en El Método, un manuscrito de Arquímedes:-
"... Arquímedes tomó tres pares de magnitudes infinitas en número y afirmó que eran, respectivamente "iguales en número". ... Sospechamos que no existió ningún otro lugar conocido en la matemática griega - o, de hecho, en los antiguos escritos griegos - donde los objetos infinitos en número se les llame iguales en magnitud.
...La sugerencia de que cierto objetos, infinitos en número, son "iguales en magnitud" a otros implica que no todos estos objetos, infinitos en números, son tan iguales. ... Tenemos aquí muchos objetos infinitos - con definidas y diferentes magnitudes (es decir son cercanos en número); tales magnitudes son manipuladas de una forma concreta, aparentemente por algo similar a una correspondencia uno a uno. ... en este caso Arquímedes trata los infinitos reales casi como si poseyeran números en el sentido habitual..."
Incluso cuando la mayoría de matemáticos aceptaron los argumentos del infinito potencial de Aristóteles, otros argumentaban casos de infinito real. En el siglo I A.C. Lucrecio escribió su poema De Rerum Natura en el cual argumentaba contra un Universo limitado en el espacio. Su argumento es simplemente uno. Supongamos que el Universo fuese finito por lo que tendría que tener un límite. Ahora si nos aproximamos al límite y lanzamos un objeto en él no habría nada que lo detuviera ya que cualquier cosa que pudiese pararlo estaría más allá del límite y nada puede existir más allá del Universo por definición. Ahora sabemos, por supuesto, que el argumento de Lucrecio es falso dado que el espacio podría ser finito sin tener límite. Sin embargo durante muchos siglos el argumento del límite dominó el debate sobre si el espacio era finito.
Eso se agrandó por los teólogos que argumentaban en favor del infinito real. Por ejemplo San Agustín, el filósofo cristiano que trasladó gran parte de la filosofía de Platón al cristianismo a principios del siglo V D.C, argumentaba en favor de un Dios infinito y también un Dios capaz de pensamientos infinitos. Escribió en su trabajo más famoso Ciudad de Dios:-
"Tal como digo que tales cosas infinitas son pasado en el conocimiento de Dios podrían también saltar precipitadamente este agujero de impiedad, y digo que Dios no conoce todos los números. ... ¿Qué loco diría eso? ... Sería miserable atreverse a presumir que tiene límites en su sabiduría".
Los matemáticos hindúes trabajaron en la introducción del cero en su sistema numérico durante un periodo de unos 500 años empezando con Brahmagupta en el siglo VII. El problema que se encontraron fue qué hacer con el cero respecto a las operaciones aritméticas habituales. Bhaskara II escribió en Bijaganita:-
"Una cantidad dividida por cero se convierte en una fracción en la cual su denominador es cero. Esta fracción determina una cantidad infinita. En esta cantidad que tiene el cero como su divisor, no existe alteración, aunque se pueden insertar y extraer muchos; así como ningún cambio tiene lugar en el infinito y el inmutable Dios cuando el mundo es creado o destruido, aunque numerosos órdenes de seres sean absorbidos o creados".
Este fue un intento de traer el infinito, así como el cero, al sistema numérico. Por supuesto no funcionó debido a que si introducimos la sugerencia de Bhaskara II entonces 0 veces infinito debe ser igual a cada número n, por lo que todos los números son iguales.
Tomás de Aquino, el teólogo y filósofo cristiano, usó el hecho de que no hay un número para representar el infinito como argumento contra la existencia del infinito real. En Summa Theologia, escrito en el siglo XIII, Tomás de Aquino escribió:-
"La existencia de una multitud de infinitos reales es imposible. Para cualquier conjunto de cosas que uno tiene en cuenta debe existir un conjunto específico. Un conjunto está especificado por el número de cosas que hay en él. Ningún número es infinito, para el resultado numérico de contar a través de un conjunto de unidades. Por tanto ningún conjunto de cosas puede en realidad estar inherentemente ilimitado, ni puede suceder que sea ilimitado".
Esta objeción era en efecto razonable para la época de Aquino y no tuvo una respuesta satisfactoria. Un conjunto infinito real requiere una medida, y tal medida no parecía posible para Aquino. Tenemos que movernos hacia adelante hasta Cantor cerca de finales del siglo XIX antes de encontrar una medida satisfactoria para conjuntos infinitos. El artículo [15] examina:-
"... los argumentos matemáticos usados por dos teólogos del siglo XIII, Alexander Nequam y Richard Fishacre, para defender la consistencia del infinito divino. En conexión con sus argumentos, se planteó la siguiente cuestión: ¿Por qué los teólogos juzgaban como inapropiado recurrir a ejemplos matemáticos en relación con un tema puramente teológico?".
La inducción matemática comenzó a usarse cientos de años antes que se hiciera ninguna formulación rigurosa del método. Esta proporcionaba una técnica para probar que las proposiciones eran ciertas para un número infinito de valores enteros. Por ejemplo al-Karaji alrededor del año 1000 D.C usó una forma no rigurosa de inducción matemática en sus argumentos. Básicamente lo que al-Karaji hizo fue demostrar un argumento para n = 1, entonces probar el caso para n = 2 basándose en el resultado de n = 1, entonces probar el caso n = 3 basándose en el caso de n = 2, y llegar hasta n = 5 antes de resaltar que se podría continuar el proceso de forma indefinida. A través de estos métodos dio una maravillosa descripción para generar los coeficientes binomiales usando el triángulo de Pascal.
Pascal no sabía nada del trabajo de al-Karaji sobre el triángulo de Pascal pero sabía que Maurolico había usado un argumento de tipo de inducción matemática a mediados del siglo XVII. Pascal, proponiendo su versión del triángulo de Pascal escribió:-
"Incluso aunque esta proposición puede tener un número infinito de casos, daré una breve prueba de ellos asumiendo dos axiomas. El primero, que es evidente por sí mismo, es que la proposición es válida para la segunda fila. La segunda es que si la proposición es válida para cualquier fila entonces es necesariamente válida para la siguiente fila. De aquí puede verse que es necesariamente válido para todas las filas; dado que es válido para la segunda fila por el primer axioma; y por el segundo axioma debe ser cierto para la tercera fila, y de aquí para la cuarta y así hasta el infinito".
Habiéndonos movido hacia delante en el tiempo siguiendo el progreso de la inducción, volvamos atrás un poco para ver argumentos que se hicieron acerca del Universo infinito. El modelo de Universo finito de Aristóteles con nueve esferas celestiales centradas en la Tierra había sido el punto de vista aceptado durante un largo periodo. No tuvo oposición, sin embargo, ya hemos visto el argumento de Lucrecio a favor de un Universo infinito. Nicolás de Cusa a mediados del siglo XV fue un brillante científico que argumentó que el Universo era infinito y que las estrellas eran soles distantes. En el siglo XVI, la Iglesia Católica europea inició su intento de acabar con tales herejías. Giordano Bruno no era matemático ni científico, pero argumentó con fuerza a favor de un Universo infinito en "Sobre el Universo infinito y los Mundos" (1584). Llevado ante la Inquisición, fue torturado durante nueve años en un intento de obligarlo a aceptar que el Universo era finito. Rechazó cambiar su opinión y fue quemado en la hoguera en el año 1600.
Galileo era sumamente consciente del destino de Bruno en manos de la Inquisición y eso le hizo ser muy cauto a la hora de exponer sus puntos de vista. Abordó el tema del Infinito en Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638) donde estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, el círculo mayor A con diámetro dos veces mayor que el círculo menor B. La fórmula habitual nos da que la circunferencia de A debe ser el doble que la de B. Pero tomando cualquier punto P en el círculo A, entonces PA corta al círculo B en un punto. De forma similar si Q es un punto sobre B entonces OQ corta al círculo A en exactamente un punto. Aunque la circunferencia de A es dos veces mayor que la longitud de la circunferencia de B ambas tienen el mismo número de puntos. Galileo propuso añadir un número infinito de espacios infinitamente pequeños a la longitud menor para hacerla igual a la mayor y permitir que tuviesen el mismo número de puntos. Escribió:-
"Estas dificultades son reales; y no son las únicas. Pero recordemos que estamos tratando con infinitos e indivisibles, los cuales trascienden nuestra comprensión finita, los primeros a causa de su magnitud, los últimos debido a su pequeñez. A pesar de esto, los hombres no pueden abstenerse de discutirlos, incluso aunque deba hacerse de forma indirecta".
Sin embargo, Galileo argumentó que las dificultades eran debidas a:-
"... intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asignándole propiedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras".
Entonces dio otra paradoja similar a la del círculo esta vez con números ni infinitos ni indivisibles que podían ser insertados en el lugar correcto. Proporcionó la correspondencia uno a uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados. Por una parte demostró que había el mismo número de cuadrados que de números. Sin embargo la mayoría de los números no eran cuadrados perfectos, Galileo dijo que esto solo podía significar que:-
"... el total de los números es infinito, y el número de cuadrados es infinito.; ni es menor el número de cuadrados que el de la totalidad de números, ni el otro mayor que el anterior; y, finalmente, los atributos "igual", "mayor", y "menor" no son aplicables al infinito, sino solo a cantidades finitas".
En [25] Knobloch toma un nuevo punto de vista sobre este trabajo de Galileo. En el mismo papel se examinan las cuidadosas definiciones de Leibniz sobre el infinitesimal y el infinito en términos de procedimientos de límites. El desarrollo de Leibniz del Cálculo se construyó sobre ideas de lo infinitamente pequeño que habían sido estudiadas durante largo tiempo.
Cavalieri escribió Geometria indivisibilibus continuorum (1635) en el cual piensa que las líneas están constituidas por infinitos puntos y las áreas compuestas de infinitas líneas. Dio un método bastante riguroso de comparación de áreas, conocido como "Principio de Cavalieri". Si movemos una línea paralelamente a sí misma a lo largo de dos áreas y si el radio de las longitudes de la línea dentro de cada área es siempre a : b entonces el radio de las áreas es a : b.
Roberval fue aún más lejos en el camino de pensar en la líneas como la suma de un infinito número de pequeñas partes indivisibles. Introdujo métodos para comparar los tamaños de los indivisibles de forma que incluso si no tienen magnitud por sí mismos se pueden definir rangos de sus magnitudes. Este fue un gran avance en el trabajo con procesos infinitos ya que por primera vez en la historia fue capaz de ignorar magnitudes que eran pequeñas comparadas con otras. Sin embargo, hay una diferencia entre ser capaz de usar el método de forma correcta y escribir las condiciones precisas rigurosamente sobre cuándo podemos usarlo. Consecuentemente se generaron paradojas lo que llevó a algunos a querer rechazar el método de indivisibles.
El Colegio Romano rechazó los indivisibles y prohibió su enseñanza en los Colegios Jesuitas en 1649. La Iglesia había fallado al silenciar a Bruno a pesar de llevarlo a la muerte, falló al intentar silenciar a Galileo a pesar de ponerlo bajo arresto domiciliario y no podría detener el progreso hacia el cálculo diferencial e integral prohibiendo la enseñanza de los indivisibles. Más bien la Iglesia solo obligaría a los matemáticos a que se esforzaran por dar un mayor rigor contra las críticas.
El símbolo infinito que usamos para el infinito hoy día, se usó por primera vez por John Wallis quien lo usó en De sectionibus conicis en 1655 y de nuevo en Arithmetica infinitorum en 1656. Eligió este símbolo para representar el hecho de que se podría atravesar la curva infinitamente.
Tres años más tarde Fermat identificó una importante propiedad de los enteros positivos, a saber, no contienen una secuencia decremental infinita. Hizo este descubrimiento introduciendo el método de descenso infinito en 1659:-
... en los casos donde los métodos ordinarios dados en los libros se muestran insuficientes para manejar proposiciones de tal dificultad, he encontrado al fin una forma completamente excepcional de trabajar con ellos. He llamado a este método de comprobación de infinito descenso ...
El método estaba basado en demostrar que si una proposición era cierta para algún valor entero positivo n, entonces también era verdad para algunos valores enteros positivos menores que n. Debido a que no existe una cadena de descenso infinita en los enteros positivos tal prueba caería en una contradicción. Fermat usó este método para probar que no existían soluciones enteras positivas para x4 + y4 = z4.
Newton rechazó los indivisibles en favor de su fluxión que era una medida de la variación instantánea de una cantidad. Por supuesto, el infinito no se había eludido dado que aún tenía que tener en cuenta incrementos infinitamente pequeños. Esto era, en cierto sentido, la respuesta de Newton al problema de la flecha de Zenón:-
Si, dice Zenón, todo está en reposo o en movimiento cuando ocupa un espacio igual a sí mismo, mientras el objeto movido está en ese instante, la flecha en movimiento permanece quieta.
La fluxión de Newton produjo resultados matemáticos fantásticos pero había mucha cautela en el uso de incrementos infinitamente pequeños. La famosa cita de George Berkeley resume las objeciones de una forma sucinta:-
¿Y qué son estas fluxiones?. Las velocidades de incrementos evanescentes. ¿Y qué son los mismo incrementos evanescentes?. No son más que cantidades finitas, no cantidades infinitamente pequeñas, ni nada de eso. ¿No podríamos llamarlos fantasmas o cantidades "huidas"?.
Newton creía que el espacio es de hecho infinito y no indefinidamente grande. Proclamó que tal infinidad podía ser comprendida, usando en particular argumentos geométricos, pero no pudo concebirlo. Esto es interesante para, como veremos más abajo, otros argumentos contra el infinito real usando el hecho de que no puede ser concebido.
El problema de si el espacio y el tiempo eran infinitamente divisibles continuaba poniendo en problemas. El filósofo David Hume argumentó que había un mínimo tamaño perceptible en su Tratado de la Naturaleza Humana (1739):-
Pon una mancha de tinta en el papel, fija tu mirada en el punto, y retíralo a tal distancia que finalmente lo pierdas de vista; es evidente que el momento en que la imagen o impresión desapareció es perfectamente indivisible.
Immanuel Kant argumentó en La Crítica a la Razón Pura (1781) que el infinito real no puede existir dado que no puede percibirse:-
... para concebir el mundo, que llena todo el espacio, como un todo, la sucesiva síntesis de las partes de un mundo infinito tendrían que plantearse como completas; es decir, un tiempo infinito tendría que considerarse como transcurrido, durante la enumeración de todas las cosas que coexisten.
Esto trae la cuestión a menudo preguntada por los filósofos: ¿existiría el mundo si no hubiese una inteligencia capaz de pensar en su existencia?. Kant dice no; por lo que volvemos al punto del principio de este artículo, el conjunto de los enteros no es infinito dado que nunca podremos enumerar más de un número finito de números.
Se hicieron pequeños progresos en la cuestión del infinito real. Los mismos argumentos parecían no hacer ningún progreso definitivo hacia una mejor comprensión. Gauss, en una carta a Schumacher en 1831, argumentaba contra el infinito real:-
Protesto contra el uso de magnitudes infinitas como algo completo, lo que en matemáticas es impermisible. El infinito es simplemente una forma de hablar, el significado real es un límite con ciertos rangos de aproximación indefinidamente cercanos, mientras que otros se les permite incrementarse sin restricción. Tal vez uno de los sucesos más significativos en el desarrollo del concepto de infinito son las Paradojas de Bernard Bolzano sobre el infinito las cuales publicó en 1840. Argumenta que el infinito existe y en su argumento involucra la idea de un conjunto que define por primera vez:-
Llamo conjunto a un grupo donde el orden de sus partes es irrelevante y donde nada esencial se cambia si solo se cambia el orden.
¿Por qué la definición de un conjunto hace del infinito real una realidad?. La respuesta es simple. Una vez que uno piensa en los enteros como conjunto entonces esto es una entidad simple que debe ser infinita en realidad. Aristóteles miraría los enteros desde el punto de vista que uno puede encontrar subconjuntos finitos arbitrariamente grandes. Pero una vez que se tiene el concepto de conjunto entonces estos se ven como subconjuntos del conjunto de los enteros el cual debe ser infinito en realidad. Quizás Bolzano sorprendentemente no usó este ejemplo de conjunto infinito en lugar de esto mira las proposiciones ciertas:-
La clase de todas las proposiciones ciertas se ve fácilmente como infinito. Si fijamos nuestra atención sobre una verdad tomada de forma aleatoria y la etiquetamos como A, encontramos que la proposición transmite las palabras "A es cierta" que es distinto de la proposición A en sí misma...
En esta etapa el estudio matemático del infinito se mueve hacia la Teoría de Conjuntos y referimos al lector al artículo Inicios de la Teoría de Conjuntos para mayor información sobre la contribución de Bolzano y el tratamiento del infinito de Cantor quien construyó una teoría de diferentes tamaños de infinitos con sus definiciones de números cardinales y ordinales.
El problema de los infinitesimales se puso en una base matemática rigurosa por Robinson con su famoso texto de 1966 de análisis no-estándar. Kreisel escribió:-
Este libro que apareció justo 250 años después de la muerte de Leibniz, presenta una rigurosa y eficiente Teoría de Infinitesimales obedeciendo, como Leibniz quería, las mismas leyes de los números ordinarios.
Fenstad, en [17], mira al infinito y al análisis no-estándar. También examina sus usos en el modelado de fenómenos naturales.
Autores: J J O'Connor and E F Robertson
MacTutor History of Mathematics
Referencias:
[15] A A Davenport, The Catholics, the Cathars, and the concept of infinity in the thirteenth century, Isis 88 (2) (1997), 263-295.
[17] J E Fenstad, Infinities in mathematics and the natural sciences, in Methods and applications of mathematical logic, Campinas, 1985, Contemp. Math. 69 (Providence, RI, 1988), 79-92.
[26] W R Knorr, Infinity and continuity in ancient and medieval thought (Ithaca, N.Y., 1982), 112-145.
[36] D D Spalt, Die Unendlichkeiten bei Bernard Bolzano, in Konzepte des mathematisch Unendlichen im 19. Jahrhundert (Göttingen, 1990), 189-218.

Enlace: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Infinity.html